قانون المسافة في الرياضيات، الرياضيات علم من العلوم التي تعتمد وبشكل كبير على الذكاء والتفكير والقدرة على التركيز، حيث حل المسائل الرياضية يحتاج إلى دقة في الحل، ويوجد الكثير من علماء الرياضيات الذين برعوا في إيجاد القوانين والنظريات الرياضية ومن بينهم العالم الخوارزمي والذي أوجد المعادلات الجبرية حيث اختص وبشكل كبير في علم الجبر، ومن بين القوانين الرياضية التي توصل إليها العلماء قانون المسافة والذي سنتعرف عليه في هذا المقال.
ما هي المسافة
هناك العديد من التعريفات للمسافة فمنها من منظور فيزيائي وهناك تعريفات من وجهة نظر علماء الرياضيات، ولكن بشكل عام هي عبارة عن كمية قياسية توضح الطول بين نقطتين محددتين، ويمكن قياس المسافة بشكل سهل وبسيط، ويرمز للمسافة بالرمز م، وهناك فرق بين المسافة والإزاحة.
وتقاس المسافة بوحدات الطول المعروفة إما بالسنتيميتر أو بالمتر أو بالكيلو متر، فالقياسات الصغيرة تُقَاس بوحدة بالسنتيمتر بينما المسافات الأكبر فتقاس بالمتر، أما المسافات الكبيرة جداً فتقاس بالكيلو متر مثل المسافات بين المدن.
شاهد أيضا: قانون محيط المستطيل ومساحته
قانون المسافة بين نقطتين
قانون المسافة في الرياضيات هي إحدى القوانين المهمة التي تستخدم في المسائل الرياضية المتنوعة وهي من بين الدروس التي تتواجد في وحدة الجبر والمعادلات، ويمكن تعريف المسافة على أنها طول المسار الذي يسلكه الجسم خلال حركته من مكان إلى أخر، والمسافة كما ذكرنا لكم أعلاه أنها تقاس بوحدات متنوعة، وهي كمية قياسية أي تُحَدد بالمقدار فقط ولا يتم تحديد الاتجاه لها.
وفي قانون المسافة بين نقطتين يتم استخدام الاحداثيات المعطاة لكل نقطة من النقاط المُراد حساب المسافة بينها، ويتم التعبير عن المقدار بالوحدة، وذلك لأن النقاط تكون واقعة على المستوى الديكارتي، ويتم التعبير عن كل مربع على المستوى الديكارتي بوحدة واحدة، ولكن المسافة بشكل عام تقاس بوحدة المتر والكيلو متر، والسم، وتعتبر هذه الوحدات من أهم وحدات القياس الخاصة بالطول.
وليستطيع الطالب احتساب المسافة بين أي نقطتين متواجدتين على المستوى الديكارتي مثل النقطة (س1, ص1) والنقطة (س2, ص2) من خلال الصيغة التالية:
- المسافة2 = (س2 – س1)2 + (ص2 – ص1)2، وبالتالي فإنّ المسافة تُساوي الجذر التربيعي ل((س2 – س1)2 + (ص2 – ص1)2.
اشتقاق قانون البعد بين نقطتين
ويتم اشتقاق قانون المسافة أو البعد بين نقطتين على المستوى الديكارتي من خلال الإحداثيات السينية والصادية لكل نقطة من النقاط، وذلك باتباع الخطوات التي سنوضحها لكم بالأسفل:
- في البداية يجب أن يتم تحديد النقاط المراد احتساب المسافة بينها على المستوى الديكارتي، فمثلاً يتم افتراض النقطة الأولى أ والنقطة الثانية ب.
- يتم رسم خط مستقيم بين النقطتين أ و ب، ومن ثم إكمال الرسم بحيث يعطي الشكل مثلث قائم الزاوية عند النقطة ج.
- بعد أن يتم رسم المثلث القائم الزاوية يتم تطبيق قانون نظرية فيتاغورس والذي كالآتي: (ب ج)2 + (ج أ)2 = (أب)2 تحديد إحداثيات النقطتين أ و ب، بحيث أن النقطة أ تساوي (س1,ص1) والنقطة ب تساوي (س2,ص2)، وبالتالي فإنّ المسافة الأفقية (ب ج) = س1 – س2 ، والمسافة العمودية (ج أ) = ص1 – ص2.
- وهنا يتم التعويض عن قيمة كل من (ب ج) و (ج أ) في قانون نظرية فيثاغورس فينتج ما يلي:
- المسافة2 = (س1 – س2)2 + (ص1 – ص2)2 المسافة بين النقطتين أ و ب = الجذر التربيعي للقيمة ((س1 – س2)2 + (ص1 – ص2)2.
- وبهذا يكون قانون المسافة اشتقاق من نظرية فيتاغورس.
شاهد أيضا: حساب مساحة شبه المنحرف
مثال على قانون المسافة بين نقطتين
بعد أن وضحنا لكم أعلاه مفهوم المسافة، ووضحنا لكم قانون المسافة بين نقطتين وكيفية اشتقاقه، سنضع لكم أمثلة على القانون مع حلها وهي كالتالي:
- إذا كانت إحداثيات النقطة أ (3،1)، وإحداثيات النقطة ب (6،5)، أوجد البعد بين النقطتين أ وب؟ كتابة القانون، أ ب = ((س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²) √ تعويض المعطيات، أ ب = ((5 – 1)² + (6 – 3)²) √ أ ب = ((4)² + (3)²) √ أ ب = (16 + 9) √ أ ب = 25√ إيجاد الناتج = 5
- إذا كانت النقطة هـ تأخذ الإحداثيات (3، -5) والنقطة وتأخذ الإحداثيات (-6، -10)، أوجد البعد بين النقطتين هـ و. الحل/: و(هـ و) ² = (س2 – س1)² + (ص2 -ص1)² (هـ و)² = ( -6 – 3)² + ( -10 – -5)² (هـ و)² = ( -9)² + ( -5)² (هـ و) ² = 81 + 25 و(هـ و) ² = 106 (هـ و) = جذر 106 وحدة.
- إذا كانت إحداثيات النقطة هي أ (1 ،3) وإحداثيات النقطة ب هي: (5 ،6)، أوجد البعد بين النقطتين أ وب. الحل/: (أ ب) ² = (س2 – س1)² + (ص2 -ص1)² (أب)² = (5-1)² + (6-3)² (أب) ² = 4²+3² و(أب) ² = 16+9=25 (أب) = 5 وحدات.
- أوجد المسافة بين النقطة (1،7) والنقطة (3،2) الحل/ : المسافة بين نقطتين = الجذر التربيعي ل ((س2 – س1)2 + (ص2 – ص1)2) المسافة = الجذر التربيعي لـ ((1 – 3)2 + (7 – 2)2) المسافة = الجذر التربيعي ل (4 + 25) = الجذر التربيعي ل (29).
الفرق بين مفهوم المسافة والإزاحة
المسافة تختلف في مفهومها عن الإزاحة، فالمسافة هي عبارة عن كمية قياسية يتم تحديدها بالمقدار ولا يتم النظر إلى تجاه هذه المسافة، أي أنه يتم حساب المسافة من خلال قياس طول المسار الذي يسلكه الجسم في نقطتين محددتين، أو أنه الطول بين نقطتين محددتين، في حين أن الإزاحة هي عبارة عن كمية متجهة في تقيس التغير الحاصل في حركة جسم ما بتجاه معين، أي الخط المستقيم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، ويتم التعبير عن الإزاحة في الكثير من المسائل الفيزيائية، وهناك علاقة تربط بين الإزاحة والسرعة.
شاهد أيضا: بحث عن المثلثات المتطابقة
قانون منتصف المسافة بين نقطتين
قانون احداثيات نقطة المنتصف أي منتصف المسافة بين نقطتين من القوانين المهمة والتي يتم اللجوء لها في إيجاد المجهول في المعادلات الجبرية، ويمكن إيجاد إحداثي نقطة المنتصف باستعمال قانون نقطة المنتصف
لإيجاد إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي نهايتاها ( س1 ، ص1 ) ( س2 ، ص2 )
- م = ( س1 + س2/2 ، ص1 + ص2/2 )
علاقة المسافة بالسرعة والزمن
هناك قانون رياضي يربط بين كل من المسافة والسرعة والزمن، حيث أن السرعة هي عبارة عن المسافة المقطوعة خلال فترة زمنية محددة، ولإيجاد السرعة يتم قسمة المسافة على الزمن، في حين أن المسافة تساوي السرعة × الزمن، حيث أن (مم، سم، ديسم، م، ميل، كم) هي وحدات القياس للمسافة كوحدات أساسية، وتقاس السرعة بوحدة كم /س أو م/ث، ووحدات قياس الزمن إما الثانية أو الدقيقة أو الساعة.
قانون المسافة في الرياضيات، ذكرنا لكم في المقال مفهوم المسافة والعلاقة الرياضية التي يتم من خلالها إيجاد البعد بين نقطتين، كما ووضحنا كيفية اشتقاق قانون المسافة، والفرق بين مفهوم المسافة والإزاحة، بالإضافة إلى قانون منتصف المسافة بين نقطتين وعلاقة المسافة بالسرعة والزمن.